ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘの証明
ｙ＝１のとき　ｘ＋１＝１＋ｘであるから、成立する。
ｙ＝ｎのとき、ｘ＋ｎ＝ｎ＋ｘと仮定する。
（操作φの繰り返し適用を、べき乗の形のフォントがないので便宜的に）
ｘ＝φ…（ｘ－１回）…φ１と表記すれば 
ｘ＋φｎ＝φ（ｘ＋ｎ）＝φ（ｎ＋ｘ）＝φ（ｎ＋φ…（ｘ－１回）…φ１）
＝φ…（ｘ回）…φ（ｎ＋１）＝φ…（ｘ＋１回）…φｎ　　　　　　（Ａ）

φｎ＋ｘ＝φｎ＋φ…（ｘ－１回）…φ１＝φ…（ｘ－１回）…φ（φｎ＋１）
＝φ…（ｘ－１回）…φ（φφｎ）＝φ…（ｘ＋１回）…φｎ　　　　（Ｂ）

（Ａ）と（Ｂ）よりｘ＋φｎ＝φｎ＋ｘ　　
∴ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ